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By Otto Forster

F?r die vorliegende 6. Auflage wurde neben der Korrektur von Druckfehlern der textual content an manchen Stellen weiter ?berarbeitet und es kamen einige neue ?bungsaufgaben hinzu.
Die bew?hrten Charakteristiken des Buches haben sich nicht ge?ndert. Es dringt ohne gro?e Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten (Grenzwerte, Stetigkeit, Differentiation, Integration, Reihen-Entwicklung) vor und illustriert sie mit vielen konkreten Beispielen.
Das Buch ist bestens geeignet f?r Anf?nger-Vorlesungen in research f?r Mathematiker (Diplom und Lehramt), Informatiker und Physiker.

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Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen

F? r die vorliegende 6. Auflage wurde neben der Korrektur von Druckfehlern der textual content an manchen Stellen weiter ? berarbeitet und es kamen einige neue ? bungsaufgaben hinzu. Die bew? hrten Charakteristiken des Buches haben sich nicht ge? ndert. Es dringt ohne gro? e Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten (Grenzwerte, Stetigkeit, Differentiation, Integration, Reihen-Entwicklung) vor und illustriert sie mit vielen konkreten Beispielen.

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Hiiufungspunkt. Wir geben einige Beispiele flir für Häufungspunkte. Hiiufungspunkte. 1) Die durch an := ( _1)n definierte Folge (an) besitzt die Häufungspunkte Hiiufungspunkte +1 und -1. Denn es gilt lim \im a2k = 1 und k~~ lim \im a2k+l k~~ = -1. 2) Die Folge Foige an := (_I)n +~, n ~ 1, besitzt ebenfalls die beiden HäufungsHiiufungspunkte +1 und -1, denn es gilt lim a2k = k~~ lim \im k~~ (1 + 21k) = 1 und analog lima2k+ 1 = -1. 3) Die Folge an := n, n E N, besitzt keinen Haufungspunkt, Häufungspunkt, dajede Teilfolge unbeschränkt ist, also nicht konvergiert.

Eine Folge, FoIge, die gegen 0 konvergiert, nennt man Nullfolge. Geometrische Deutung der Konvergenz. Für FUr EE > 0 versteht man unter der EEUmgebung von a E IR JR die Menge aller alIer Punkte der Zahlengeraden, die von a einen Abstand kleiner als EEhaben. Dies ist das Intervall IntervalI Ja- E,a+E[:= {x E IR: JR: a- E 0 existiert ein N, so dass an E Ja - E, a +E[ für fUr alle aile n ~ N. Die Folge Foige (an) konvergiert also genau dann gegen a, wenn in jeder noch so kleinen E-Umgebung von a fast alle aile Glieder der Folge Foige liegen.

Viei komplizierter. Wir werden uns damit in §8 beschäftigen. 11) Unendliche Dezimalbrüche Dezimalbrtiche sind spezielle Reihen. 08636363, wobei die trberstreichung Überstreichung von 63 andeuten soll, soli, dass sich diese Zifferngruppe unendlich oft wiederholt. Dies bedeutet, dass x den folgenden Wert hat: 8 63 63 8 x = 100 + 104 + 106 + ... = 100 + ~ 63 L 104+2k· k=O 37 § 4 Folgen, Grenzwerte also 8 63 855 19 x = 100 + 9900 = 9900 = 220· 1m Im nächsten nachsten Paragraphen werden wir uns systematischer mit unendlichen Dezimalbriichen zimalbrüchen beschiiftigen.

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