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By Ehrhard Behrends

In diesem Analysisbuch wird besonders viel Wert darauf gelegt, die Anfängerschwierigkeiten zu berücksichtigen: Alle neuen Begriffe werden ausführlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so obvious wie möglich gemacht. Während der Vorbereitung gab es eine besonders extensive Zusammenarbeit mit einer Gruppe von Studierenden; alles, used to be ihrer Meinung nach zum besseren Verständnis hätte gesagt werden können, ist aufgenommen worden.
Das Buch enthält viele Übungsaufgaben, deren ausführliche Lösungen als Online-Service zum Buch auf der speziell dafür eingerichteten Internetseite zu finden sind.
Das Buch ist auch zum Selbststudium geeignet. Schon im textual content gibt es zahlreiche Fragen zum Mitdenken, und nach jedem Kapitel findet guy - für spätere Prüfungsvorbereitungen - eine Sammlung von Verständnisfragen.
Es werden auch viele Fragen angesprochen, die nicht direkt zur research gehören: Grundlagen der Logik, Computeralgebrasysteme, Mathematik und Realität usw.

Online-Service: www.math.fu-berlin.de/~behrends/analysis

Die reellen Zahlen: Motivation - Mengen - Körper - angeordnete Körper - Induktion - die ganzen und die rationalen Zahlen - Archimedesaxiom - Vollständigkeit - komplexe Zahlen - Ergänzungen
Folgen und Reihen: Folgen - Konvergenz - Cauchy-Folgen - Reihen - Ergänzungen
Metrische Räume: grundlegende Definitionen - Kompaktheit - Stetigkeit
Differentiation: Motivation - Mittelwertsätze - Satz von Taylor - Potenzreihen - spezielle Funktionen - Fundamentalsatz der Algebra - einfache Differentialgleichungen

Studierende der Mathematik, Physik und Informatik an Universitäten ab dem 1. Semester

Ehrhard Behrends ist Professor für Mathematik an der FU Berlin. Er ist Autor von zahlreichen Fachbüchern, auch setzt er sich intensiv für die Popularisierung von Mathematik ein. Ebenfalls bei Vieweg+Teubner erschienen "Alles Mathematik" (herausgegeben mit M. Aigner) und "Fünf Minuten Mathematik".

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Dass I:k= (n+1)[(~+1)+11. k=l Nun ist aber n Lk+(n+1) k=l Vor au ~tzun g n(n + 1) 2 ( ) + n+ 1 (n + l)[(n + 1) + 1] 2 und damit ist der Beweis vollständig. D Beweis 2 (Standard): Der Beweis besteht wieder aus drei Teilen: einer kleinen Rechnung, der Formulierung der Aussage "die Behauptung gilt für n " und dem Nachweis, dass die Behauptung dann auch für n + 1 gilt: • Induktionsanfang: Der Satz ist richtig für n = 1 wegen :t k = 1 = 1(1; 1). h. es sei tk 2+ = n(n 1). k=l • Induktionsschluss: Der Satz gilt dann auch für n ~k-~ k=l + 1: ...

Damit gilt auch n;:::m+1. (vii) Ist A c N und A nicht leer, so gibt es ein no E A mit: n ;::: no für alle n E A . Die Zahl no ist damit so etwas wie "das kleinstmögliche" Element in A. (viii) Es sei A eine nicht leere und durch eine natürliche Zahl nach oben beschränkte Teilmenge von N; es soll also ein no E N mit n ::; no für jedes nE A geben. Dann existiert ein nl E A mit: n ::; nl für alle n E A. ) Beweis: (i) Sei nE N und A eine induktive Teilmenge von K . Dann liegt die Zahl n nach Definition auch in A, und folglich ist n + 1 E A.

Kommutativ (ii) ,,0" heißt kommutativ, wenn xoy=yox für alle x , y E Mist. (iii) Ein Element e E M heißt neutral bezüglich ,,0 ", wenn e ° x = x ° e für jedes x E M gilt (e heißt dann auch eine Einheit bezüglich ,,0 ") . =x (iv) Sei e eine Einheit für ,,0" und x E M . Ein Element y E M heißt invers zu x, wenn x ° y = y ° x = e. Nimmt man wie bisher die bekannten Zahlenmengen N naiv , Znaiv , IQ naiv und lR n aiv als gegeben an, so lassen sich leicht zahlreiche Beispiele zur Erläuterung der Definitionen finden.

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